Una breve introduzione al calcolo di Malliavin
Una giornata di hacking per il percorso Mathematics for Data Science presso il Dipartimento di Matematica
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Bio
Luciano Tubaro ha ottenuto la Laurea in matematica all'università di Roma (La Sapienza) nel novembre 1970. Assistente di Analisi Matematica all'università di Trento nel novembre 1977. Professore associato di Analisi Matematica all'università di Trento nel 1982. Professore ordinario di Probabilità all'università di Trento dal 1990. In pensione dall'ottobre 2017. Ha lavorato nel campo delle equazioni differenziali stocastiche alle derivate parziali, utilizzando la teoria dei semigruppi. Ha ottenuto risultati di esistenza ed unicità delle soluzioni usando il metodo delle caratteristiche stocastiche nel caso lineare e nell'ambito non lineare. Si è occupato inoltre di misure periodiche per una classe di equazioni stocastiche. Si è occupato ancora di equazioni differenziali non lineari in spazi di Hilbert perturbate da un rumore bianco con due parametri, come per esempio nel caso della quantizzazione stocastica, dell'equazione di Cahn-Hilliard e dell'equazione di Kardar-Parisi-Wu. Si è occupato anche di equazioni integro-differenziali con rumore ed equazioni stocastiche in infinite dimensioni in domini con condizioni di Neumann al bordo. Ha organizzato, insieme a G. Da Prato, nove convegni su equazioni differenziali stocastiche alle derivate parziali ed applicazioni ('85, '88, '90, '96, '00, '02, '04, '08, '14) (dei primi tre e del quinto, sesto, settimo e ottavo sono stati pubblicati i Proceedings) ed un convegno IFIP su Controllo di equazioni alle derivate parziali ('93) con pubblicazione dei Proceedings. Si è occupato inoltre di schemi numerici per equazioni differenziali stocastiche collaborando con D. Talay (INRIA) con il quale ha organizzato il corso CIME "Probabilistic Models for Nonlinear Partial Differential Equations" nel 95.Syllabus
Partiamo da uno spazio di probabilità \((\Omega,\mathcal E,\mathbb{P})\), generico ma tale da poter considerare un sottospazio chiuso \(\mathcal{H}_1\) di \(L^2(\Omega,\mathcal{E},\mathbb{P};\mathbb{R})\), separabile di dimensione infinita, formato da variabili gaussiane centrate.
Ora scegliamo uno spazio di Hilbert separabile $H$ e scegliamo una isometria (operatore unitario) \(W\colon H\to \mathcal{H}_1\) e l’inverso \(W^{-1} \colon \mathcal{H}_1\to H\). Tali scelte sono infinite! E ogni scelta è l’(isonormal gaussian process* di Nualart e Peccati. Risulta
\[\mathbb{E}\big[\langle W^{-1}X,h \rangle \big]=\mathbb{E}\big[X\,W(h)\big] \ ,\]con \(X\in \mathcal{H}_1\) dove a primo membro abbiamo indicato il prodotto scalare in \(H\) è il valore di aspettazione di una costante. Denotiamo ora (per uniformarci a Nualart) con \(D\) l’operatore \(W^{-1}\), la derivata di Malliavin secondo Nualart, considerato come operatore lineare da \(\mathcal{H}_1\) in \(L^2(\Omega,\mathcal E,\mathbb{P};H)\), dove possiamo pensare \(H\subset L^2(\Omega,\mathcal E,\mathbb{P};H)\).
Estendiamo ora \(D\) all’algebra \(\mathcal A\) generata da \(\mathcal{H}_1\). Vale la seguente “integrazione per parti”, dove \(F\in\mathcal A\), l’algebra generata da \(\mathcal{H}_1\),
\[\mathbb{E}\big[\langle DF,h \rangle \big]=\mathbb{E}\Big[F\,W(h)\big] \ .\]Seguendo il Nualart, \(D\) è un operatore chiudibile in \(L^p\); il dominio della sua chiusura (il completamento di \(\mathcal A\)) è denotata con \(\mathbb{D}^{1,p}\); questo spazio vettoriale non dipende dalla scelta di \(W\), dipende solo da \(\Omega\), \(\mathcal{H}_1\) e \(H\). Considereremo inoltre il duale di \(D\), cioè l’operatore divergenza \(\delta\), con dominio dom\((\delta)\), anch’esso non dipendente da \(W\). Naturalmente \(D\) e \(\delta\) dipendono da \(W\). In altre parole è come aver deciso che le funzioni (gaussiane) di \(\mathcal{H}_1\) hanno derivata costante con la costante dipendente da \(W\).
Riferimenti bibliografici
- I. Nourdin, G. Peccati (2012) Normal Approximations with Malliavin Calculus, Cambridge University Press
- D. Nualart (2006) The Malliavin Calculus and Related Topics, Springer
Orari
- Giovedi 08 Ottobre 2020 @ 14.45-16.45
- Venerdi 09 Ottobre 2020 @ 14.45-16.45
Dettagli
- Questa attività viene svolta da remoto tramite zoom, la partecipazione è gratuita, scrivete a Claudio Agostinelli per confermare la vostra partecipazione e ricevere il link all’evento
- Per maggiori informazioni contattare il Prof. Claudio Agostinelli
- Lingua: Italiano